Aký ďalší vývoj v AI môžeme čakať? Vyriešenie matematického problému Paula Erdősa je neuveriteľný kvalitatívny skok

Nezávisle od seba sa v priebehu piatich dní udiali dve významné udalosti v oblasti umelej inteligencie (ďalej AI).

Dvadsiateho mája 2026 dosiahla AI významný míľnik vo svojom vývoji. Keďže pápež Lev XIV. považuje AI za mimoriadne dôležitú pre stav a budúcnosť ľudskej spoločnosti, jeho prvá encyklika vydaná 25. mája 2026 je v prvom rade venovaná práve tejto oblasti. 

Keďže sa pápežovej encyklike venovala v Postoji značná pozornosť, obmedzím sa vo svojom príspevku na pokrok v AI.

Magnifica humanitasTreba odzbrojiť umelú inteligenciu, vyzval Lev XIV. Jeho prvá encyklika sa venuje aj vojne, práci a slobode

Kolektív autorov

Míľnik vo vývoji umelej inteligencie

Matematický výskum sa dlho považuje za jednu z najťažších skúšok logického uvažovania a tvorivosti. Developeri systémov umelej inteligencie preto často merajú a dokumentujú pokrok svojich modelov hodnotením ich matematických schopností a zručností. Totiž ak bude AI schopná vyriešiť komplikovaný matematický, teda teoretický problém, nebude pre ňu ťažké vyriešiť konkrétny problém zo života rovnakej úrovne náročnosti.

Dvadsiateho mája 2026 spoločnosť OpenAI oznámila, že jej interná verzia ChatGPT (nedostupná verejnosti) vyvrátila hypotézu o jednotkovej vzdialenosti, ktorú v roku 1946 formuloval Paul Erdős (1913 – 1996). 

Ide o míľnik v pokroku AI, pretože je to prvý známy prípad, keď umelá inteligencia vyriešila známy matematický problém, ktorý desaťročia odolával úsiliu mnohých popredných matematikov. Po prvý raz AI vytvorila novú metódu a preukázala tvorivosť v matematike.

Doteraz boli systémy AI schopné riešiť matematické problémy a dokazovať teorémy iba kombinovaním metód a techník, ktoré už boli známe v literatúre, a teda ich vedeli riešiť aj matematici.

Einstein raz povedal, že všetko by malo byť vysvetlené čo najjednoduchšie, ale nie jednoduchšie. Vzhľadom na povahu a rozsah tohto oznámenia som sa vedome rozhodol porušiť jeho odporúčanie v predchádzajúcich dvoch odsekoch.

Jedným z najistejších spôsobov, ako získať uznanie v matematickej komunite, je vyriešiť známy problém formulovaný Paulom Erdősom, pravdepodobne najslávnejším matematikom 20. storočia. Práve preto sa spoločnosť OpenAI zamerala na jeden z jeho problémov.

Okrem toho, že Paul Erdős bol veľkým matematikom (poznámka na túto tému je uvedená na konci tohto textu ako Príloha 2), bol aj nespochybniteľným kráľom formulovania otázok a hypotéz. Tieto otázky a hypotézy ovplyvňujú smer matematického výskumu dodnes, 30 rokov po jeho smrti.

Erdősove problémy sa veľmi líšia svojou náročnosťou. Pri tých najťažších vypísal finančné odmeny, aby naznačil, za aké náročné ich považuje. Najvyššia odmena za Erdősov problém je 10 000 dolárov a dodnes nebola získaná. 

Pokiaľ ide o problém jednotkovej vzdialenosti, Erdős pôvodne vypísal odmenu 300 dolárov, no neskôr ju zvýšil na 500 dolárov so slovami, že problém je ťažší, než si pôvodne myslel. Teda ChatGPT vyriešil „500-dolárový problém“, čo sa stáva len zriedkavo. (Presná formulácia Erdősovho problému a výsledku ChatGPT je dostupná na konci textu ako Príloha 1.)

Dosiahnutie tohto míľnika vyvoláva dôležité otázky o tom, ako AI ovplyvní budúcnosť matematiky a ďalších prírodných vied a aký bude mať vplyv na humanitné a umelecké vedy. 

Okrem toho vyvoláva aj etické otázky. Niektorí matematici už začali používať ChatGPT Pro 5.5 (dostupný formou predplatného), ktorý je schopný poskytovať netriviálnu pomoc v matematickom výskume. Za akých okolností by mala byť AI citovaná alebo dokonca uvedená ako spoluautor vedeckého článku?

Keď ChatGPT dokázal tvrdenie vyvracajúce Erdősovu hypotézu, výskumníci zo spoločnosti OpenAI poslali e-mail deviatim svetovo známym matematikom a požiadali ich, aby overili správnosť dôkazu. Po jeho skontrolovaní sa dohodli, že OpenAI výsledok verejne oznámi a matematici v ten istý deň publikujú svoj článok. Článok je dostupný na arXive: 2605.20695.

Čo nové s AISokratovské promptovanie alebo Práca s AI je umením vhodne položenej otázky

Lukáš Krivošík

Aký vplyv bude mať AI na budúcnosť matematiky?

Článok objasňuje čiastočne zjednodušenú verziu dôkazu vytvoreného AI. Každý z autorov následne uvádza svoj vlastný názor na to, čo môže tento pokrok v AI znamenať pre budúcnosť matematiky. Aj čitatelia, ktorí preskočia technické matematické časti, si môžu prečítať predpovede autorov.

Pre pohodlie čitateľa uvádzam názory dvoch najvýznamnejších autorov článku: sú to Noga Alon z Princeton University/Tel Aviv University a Timothy Gowers z University of Cambridge, držiteľ Fieldsovej medaily. Fieldsova medaila sa často považuje za matematický ekvivalent Nobelovej ceny.

Noga Alon:

„Tak ako aj iní matematici, ktorí mali možnosť experimentovať, hoci v mojom prípade len krátko, s ChatGPT Pro 5.5, nadobudol som dojem, že nástroje AI sú schopné dramaticky zmeniť matematický výskum. Nové spektakulárne riešenie Erdősovho problému jednotkovej vzdialenosti ma presviedča, že je ťažké preceniť plný potenciálny dosah tejto zmeny.“

Timothy Gowers:

„... takže aj v nepravdepodobnom prípade, že by sa pokrok AI v matematike náhle zastavil, pravdepodobne sme už vstúpili do éry, v ktorej bude pre ľudí veľmi ťažké súťažiť s AI v riešení matematických problémov.“ (Zdôraznené autorom.) 

Gowers pokračuje:

„Svoje slová som tam volil opatrne, pretože riešenie problémov nie je všetko, čo matematici robia. Predpokladám, že AI čoskoro dosiahne vysokú úroveň aj v ďalších činnostiach, ako je budovanie teórií, formulovanie definícií a kladenie zaujímavých otázok.“

Neuveriteľná rýchlosť pokroku AI modelov

Obaja, Noga Alon aj Timothy Gowers, predpovedajú ďalšie zlepšovanie AI modelov. V tejto súvislosti je fascinujúce pozorovať doterajšiu mimoriadnu rýchlosť pokroku týchto systémov.

Prvá verzia ChatGPT bola vydaná spoločnosťou OpenAI v novembri 2022. Model bol už vtedy mimoriadne silný v generovaní textu: dokázal sumarizovať a vysvetľovať texty, prekladať jazyky a napodobňovať vzory uvažovania. Jeho schopnosti riešiť matematické problémy a dokazovať teorémy však boli značne obmedzené. Z tohto dôvodu ho mnohí výskumníci nepovažovali za systém všeobecnej umelej inteligencie. Podobne ako programy hrajúce šach. 

Na začiatku si tvorcovia AI vytýčili za cieľ vytvoriť modely schopné riešiť úlohy z Medzinárodnej matematickej olympiády (MMO). MMO sa organizuje každý rok a účastníkmi sú šesťčlenné družstvá stredoškolákov z vyše 100 krajín z celého sveta. 

Začiatkom roku 2024 spoločnosť Google oznámila, že jej AI model DeepMind dokáže riešiť geometrické úlohy z predchádzajúcich ročníkov MMO. (V tom čase som sa o danom pokroku AI rozprával s Nogom Alonom. Zhodli sme sa, že AI nebude schopná tvorivého prístupu v dohľadnej budúcnosti...) 

Nová štúdia v časopise SciencePoužívanie AI je na univerzitách veľmi rozšírené, učitelia budú musieť siahnuť po iných metódach hodnotenia

Michal Lukáč

Neskôr v tom istom roku OpenAI uviedla, že jej najnovšie modely dosiahli výkon porovnateľný so študentmi, ktorí na MMO získali zlatú medailu. Zlatú medailu na MMO získa každý študent, ktorý dosiahne určité percento bodov zo všetkých možných; zvyčajne je to okolo 80 percent.

DeepMind a ChatGPT sa zúčastnili na MMO 2025. Zo zadaných šiestich príkladov oba vyriešili päť, čo zodpovedalo zlatej medaile. Oba modely však zlyhali na úlohe z kombinatoriky, ktorá tradične vyžaduje novú metódu, čo bola slabina AI. Preto oba modely stále zaostávali za najlepšími stredoškolákmi. 

Z celkového počtu 630 súťažiacich viacerí dostali čiastočné ohodnotenie za tento problém a sedem študentov dostalo zaň plný počet bodov (DeepMind a ChatGPT dostali nulu). Je potešujúce, že jedným z nich bol slovenský študent Matej Bachniček.

O deväť mesiacov neskôr OpenAI poskytla správne riešenie hypotézy Paula Erdősa, ktorá dlhé roky odolávala sústredenému úsiliu popredných matematikov! Neuveriteľný kvalitatívny skok: od zaostávania za top stredoškolákmi po úroveň popredných matematikov za taký krátky čas!

Namiesto záverov sa vynárajú otázky. Čo nás čaká v (blízkej) budúcnosti? Aký bude ďalší míľnik vo vývoji AI modelov? Ako skoro ho AI dosiahne?

Príloha 1: Erdősov problém jednotkovej vzdialenosti

Erdősov problém jednotkovej vzdialenosti, formulovaný v roku 1946, patrí medzi najznámejšie otvorené problémy v kombinatorike a diskrétnej geometrii. Je veľmi pravdepodobné, že každý, kto pracuje v danej oblasti, sa ho pokúsil vyriešiť; to platí aj o autorovi článku.

Problém jednotkovej vzdialenosti: „Ako často sa môže jednotková vzdialenosť vyskytovať medzi n bodmi v rovine?“

Hoci sa daný problém môže na prvý pohľad javiť ako rekreačný, nie je to tak, v skutočnosti úzko súvisí s ďalšími matematickými oblasťami vrátane teórie čísel a algebraickej geometrie.

Formulácia problému, ktorú možno vysvetliť aj deťom: ako umiestniť body v rovine tak, aby sa maximalizoval počet dvojíc bodov, ktoré sú presne vo vzdialenosti jeden. Označme toto maximum ako M(n). Pre ilustráciu, M(3) = 3 a M(4) = 5. Nájsť presný vzorec pre M(n) sa považuje za v podstate beznádejné. Cieľom je preto určiť jeho asymptotické správanie, teda rád jeho rastu. Inými slovami, ako sa menia hodnoty M(n), keď n je veľmi veľké. 

Ak umiestnime n bodov na priamke tak, aby každé dva susedné body mali vzdialenosť práve jeden, dostaneme M(n) ≥ n - 1; teda M(n) rastie aspoň lineárne. Paul Erdős predpokladal, že M(n) nerastie rýchlejšie. Túto hypotézu vyvrátil ChatGPT.

Pre tých, ktorí majú základy vysokoškolskej matematiky, uvádzam presné znenie hypotézy a výsledku dokázaného ChatGPT: Erdős ukázal konštrukciou, že M(n) ≥ n^{1+Ω(1/log⁡log⁡n)}, a domnieval sa, že M(n) ≤ n^1+o(1).

Pomocou dômyselného zovšeobecnenia pôvodnej Erdősovej konštrukcie ChatGPT ukázal, že v skutočnosti M(n) rastie omnoho rýchlejšie než lineárne, dokázal, že M(n) ≥ n^1+c, kde c > 0 je konštanta. Týmto bola Erdősova hypotéza vyvrátená.

Príloha 2: Paul Erdős

János Selye, po ktorom je pomenovaná univerzita v Komárne, bol prvý, kto opísal stres ako fyziologický jav, a za svoju prácu bol nominovaný na Nobelovu cenu za medicínu. Vo svojej knihe o práci vedca uvádza, že spevák modernej hudby túži po obdive davu; čím väčší dav, tým lepšie. Vedec však túži po uznaní piatich ľudí a pozná ich mená.

Raz som sa spýtal Paula Erdősa, kto sú piati matematici na jeho zozname. Na mojom zozname bol Paul Erdős päťkrát. Mal vtedy 83 rokov a už videl dôležitosť vecí z inej perspektívy. Povedal, že na tom už nezáleží, a dodal, že by rád vedel, či si niektoré z jeho prác budú ľudia pamätať ešte o 500 rokov. Ako najpravdepodobnejšieho kandidáta spomenul svoj elementárny dôkaz vety o prvočíslach Prime number theorem. Len tí úplne najväčší matematici môžu ašpirovať na takéto miesto v dejinách.

Peter Horák-Hönig je matematik, od roku 2003 pôsobí na University of Washington, Tacoma, USA.