O kráse matematiky

O kráse matematiky

Foto: Tom Brown/flickr.com

Nedeľný úryvok z knihy, ktorá môže zmeniť život vám, aj vašim deťom.

O čom je v skutočnosti matematika? A prečo ju tak veľa študentov nenávidí alebo sa jej bojí – alebo oboje? Matematika je odlišná od ostatných predmetov, no nie preto, že v nej môžete mať iba pravdu, alebo sa iba mýliť, ako by povedalo veľa ľudí, ale preto, že pri jej výučbe učitelia používajú iné postupy ako pri ostatných predmetoch, ale aj preto, že postoj ľudí k matematike je odlišný ako ich postoj k ostatným predmetom.

Jedným z typických je názor, že v matematike je dôležité podať istý výkon a väčšina študentov vám povie, že ich úlohou na hodinách matematiky je nájsť správnu odpoveď. Máloktorý študent vníma hodiny matematiky ako priestor, kde môže oceniť jej krásu, klásť premyslené otázky a skúmať pestrú sieť súvislostí, na ktorých je matematika postavená, alebo sa naučiť viac o jej využití v praxi. Myslia si, že ich úlohou je podať výkon.

Uvedomila som si to nedávno, keď mi kolegyňa Rachel Lambertová povedala, ako jej syn prišiel raz domov a vyhlásil, že nemá rád matematiku. Spýtala sa ho prečo a on jej odvetil, že „v matematike je priveľa odpovedí a málo času na učenie.“ Študenti si už v útlom veku uvedomujú, že matematika je odlišná od iných predmetov a viac ako o učení je o odpovedaní na otázky a testovaní, čiže o podávaní výkonu.

Súčasťou problému v USA je tzv. kultúra testovania, ktorá je v matematike citeľná viac ako v iných predmetoch. Keď žiaci základných škôl v mojom obvode prídu po prvom dni domov a povedia, že písali test, myslia tým test z jedného predmetu – z matematiky.

Väčšina študentov a rodičov prijíma kultúru testovania – ako mi povedalo jedno dievčatko: „Nuž, učitelia iba chceli vedieť, čo vieme.“ Prečo sa to však týka iba matematiky? Prečo učitelia nemajú potrebu zisťovať v prvý školský deň, čo vedia študenti aj z ostatných predmetov? A prečo si niektorí pedagógovia neuvedomujú, že ustavičné testovanie prináša so sebou viac, ako len overovanie vedomostí študentov?

Okrem mnohých iných nedostatkov testovanie podporuje názor, že matematika nie je o ničom inom iba o podávaní krátkych odpovedí na starostlivo sformulované otázky, a to pod tlakom. Nemôžeme sa potom čudovať, keď študenti usúdia, že matematika pre nich nie je.

Potom sú tu ďalšie znaky, ktoré robia matematiku odlišnou. Odpovede študentov na otázku, čo je matematika, sú dosť odlišné od odpovedí odborníkov z tejto oblasti. Študent väčšinou vníma matematiku ako predmet o výpočtoch, istých postupoch a pravidlách. Matematik zasa opisuje matematiku ako štúdium vzorov, ako estetický, kreatívny a krásny predmet (Devlin, 1997). Prečo sú ich opisy také odlišné? Keby sme sa spýtali študentov anglickej literatúry, o čom je ich predmet, ich odpovede by sa veľmi nelíšili od odpovedí profesorov literatúry.

Maryam Mirzakaniová pôsobí ako matematička na Stanforde a nedávno získala Fieldsovu medailu – najvyššie možné ocenenie v matematike. Maryam je úžasná žena, zaoberala sa hyperbolickými útvarmi a nedávno prišla s teóriou, ktorá dostala prívlastok „teória desaťročia.“ Novinové články o jej práci ju často zobrazujú, ako premieta svoje myšlienky na obrovské hárky papiera pri kuchynskom stole, pretože jej práca má takmer výlučne vizuálny charakter. Nedávno som mala možnosť zasadnúť ako predsedníčka v doktorandskej skúšobnej komisii jednej z Maryaminých študentiek.

Ide o záverečnú ústnu skúšku, pri ktorej doktorandi obhajujú pred komisiou a profesormi svoje dizertačné práce, na ktorých pracovali niekoľko rokov. V ten deň som prišla na stanfordskú katedru matematiky zvedavá na obhajobu, ktorej som mala predsedať. Zasadnutie sa konalo v malej miestnosti s výhľadom na peknú ulicu Palm Drive v areáli Stanfordu a vnútri sedelo množstvo matematikov, študentov a profesorov, ktorí sa prišli na obhajobu pozrieť alebo ju hodnotiť. Študentkou, ktorá obhajovala svoju prácu, bola mladá žena Jenya Sapirová – v ten deň sa dosť nabehala, keď nám ukazovala rozličné obrázky povešané na stenách miestnosti, predkladala svoje dohady o vzťahoch medzi líniami a krivkami na svojich kresbách. Matematika, akú nám prezentovala, bola predmetom vizuálnej predstavivosti, kreativity, rozličných spojení a bola plná nejasností.

Počas obhajoby položili profesori tri-štyri otázky, na ktoré mladá sebavedomá žena odpo vedala veľmi jednoducho: „Neviem.“ Profesori často dodali, že oni tiež nevedia. Odpovedať slovkom „neviem“ počas obhajoby dizertačnej práce je nanajvýš nezvyčajné a nejeden profesor by nad tým len krútil hlavou. Avšak matematika – skutočná matematika – je predmet plný nejasností. Je o objavovaní, dohadoch a rôznych interpretáciách, nie o jednoznačných odpovediach. Keďže študentka svojou prácou vstupovala do neprebádaných vôd, profesorom sa vôbec nezdalo zvláštne, že na niektoré otázky nevedela odpovedať, a dokonca prešla skúškou s výborným hodnotením.

Samozrejme, to neznamená, že v matematike niet odpovedí. Veľa vecí je známych a je dôležité, aby sa ich študenti naučili. Školská matematika sa však akosi vzdialila od skutočnej a som si istá, že keby som vtedy na tú obhajobu vzala bežných študentov, nevedeli by povedať, o aký predmet ide. Široká priepasť medzi skutočnou a školskou matematikou tvorí jadro problému vo vzdelávaní. Verím, že keby na hodinách prichádzali študenti do kontaktu s pravou povahou matematiky, neprevládalo by všeobecné znechutenie a sklamanie z tohto predmetu.

Matematika je kultúrny fenomén – súbor názorov, vzťahov a spojení, ktoré majú ľuďom pomôcť pochopiť svet. Vo svojej podstate je matematika o usporiadaných vzoroch. Keby sme sa na svet pozreli cez „matematickú lupu“, videli by sme všade rozličné vzory. A práve pochopenie týchto vzorov, ktorými sa zaoberá matematika, tvorí podstatu nových a dôležitých vedomostí. Popredný matematik Keith Devlin sa zaoberal témou vzorov vo svojej knihe Matematika: Veda založená na vzoroch, kde píše:

„Matematika ako veda o abstraktných vzoroch ovplyvňuje do určitej miery každú stránku nášho života, pretože abstraktné vzory sú podstatou myšlienok, komunikácie, výpočtov, spoločnosti a života ako takého.“ (Devlin, 1997)

Znalosť matematických vzorov pomohla ľuďom prebádať oceány, preniknúť do vesmíru a vyvinúť technológie, ktoré nám prinášajú mobilné telefóny a sociálne siete, a aj tak ju mnohí študenti pokladajú za mŕtvy predmet, nepodstatný pre ich budúcnosť.

Pravú povahu matematiky nám môže pomôcť pochopiť matematika okolo nás – v prírode. Vzory votkané do oceánov a divočiny, rôzne štruktúry či padanie dažďa, správanie zvierat a spoločenské väzby – to všetko fascinuje matematikov už po stáročia.

Azda najznámejším je Fibonacciho vzor. Fibonacci bol taliansky matematik, ktorý v roku 1202 ukázal svetu vzor, dnes známy ako Fibonacciho postupnosť, aj keď sa objavil už približne okolo roku 200 pred naším letopočtom v Indii. Ide o postupnosť: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Prvé dve čísla sú 1 a 1 – ďalšie čísla získame sčítaním posledných dvoch čísel v rade.

Pri pohľade na snehové vločky môžeme pozorovať ďalšiu zaujímavú vec. Každá vločka je jedinečná, no všetky vychádzajú z rovnakého vzoru – zo šesťuholníka, takže takmer vždy majú šesť vrcholov. Jestvuje pre to vysvetlenie: vločky pozostávajú z molekúl vody, a tá zamŕza vo forme opakujúcich sa šesťuholníkov.

Matematiku využívajú aj zvieratá. Keď som viedla online kurz pre asi stotisíc študentov, uviedla som im jeden veľmi zaujímavý príklad: Delfíny vysielajú zvukové vlny, aby sa pod vodou navzájom našli. Vydávajú charakteristické cvakanie, ktoré sa vďaka ozvene odráža od objektov späť k delfínom. Podľa toho, ako dlho trvá, než sa zvuk vráti a podľa jeho kvality vedia delfíny nájsť svojich kamarátov. Intuitívne teda počítajú pomer, čím sa zaoberajú aj študenti na hodinách algebry (často stále dookola bez akejkoľvek súvislosti s reálnymi situáciami). V rámci zábavy som študentom povedala, že keby delfíny vedeli rozprávať, mohli by učiť algebru!

Počas kurzu jedna z mojich študentiek, Michaela, zistila, že pavúky sú odborníci na špirály. Keď pavúk robí sieť, zvyčajne začne hviezdicovitým útvarom medzi dvoma zvislými pevnými oporami, akými sú napríklad konáre stromov. Potom pavúk začne vytvárať špirálu. Sieť musí byť hotová čo najskôr, aby spevnila hviezdu, preto pavúk vytvára logaritmickú špirálu, v ktorej sa vzdialenosť každej nasledujúcej vrstvy od stredu zvyšuje vždy o rovnaký násobok.

To znamená, že čím viac sa rozrastá, tým rýchlejšie sa zväčšuje. Logaritmická špirála je však dosť riedka, preto pavúk začne tvoriť druhú – hustejšiu špirálu. Tentokrát ide o aritmetickú špirálu, takže vzdialenosti medzi jednotlivými vrstvami sú vždy rovnaké. Vytvoriť ju trvá pavúkovi podstatne dlhšie, pretože sa musí okolo stredu otočiť viackrát, no vďaka svojej hustote mu táto sieť umožňuje uloviť väčšie množstvo hmyzu. Tento úžasný počin by sa dal zostrojiť pomocou rôznych výpočtov – pavúk však pri vytváraní vlastných algoritmov používa iba svoju intuíciu (pre viac príkladov využitia matematiky v ríši zvierat viď Devlin, 2006).

Keď som uviedla tieto príklady na mojich online hodinách, niekoľko študentov oponovalo, že využitie matematiky v prírode nie je vlastne matematika. Oni totiž poznali úplne odlišnú matematiku – matematiku čísel a výpočtov. Mojím cieľom bolo, aby študenti videli matematiku v širšom kontexte, aby otvorili oči a videli pravú matematiku. V tomto smere bol kurz veľmi úspešný. Na jeho konci študenti vypĺňali dotazník a 70 % uviedlo, že ich pohľad na matematiku sa zmenil, a čo je dôležitejšie, až 75 % uviedlo, že po kurze si v matematike viac verí.

Matematika je prítomná v prírode, v umení a po celom svete, napriek tomu väčšina študentov nikdy nepočula o „zlatom podiele“ a vôbec nevnímajú matematiku ako štúdium vzorov. Ak študentom neukážeme rozsah matematiky, pripravíme ich o možnosť spoznať jej úžasný potenciál. Nie som jediná, kto tvrdí, že školská matematika je vzdialená od tej skutočnej.

Matematik Reuben Hersh napísal skvelú knihu s názvom What Is Mathematics, Really? (Čo je v skutočnosti matematika?) Tvrdí, že matematika sa v školách podáva úplne skreslene. Väčšina študentov si myslí, že matematika je iba rad odpovedí – odpovedí na otázky, na ktoré sa nikto nepýta. Hersh však poukazuje, že „matematiku poháňajú práve otázky. Riešenie problémov a vytváranie nových je podstatou matematického života. Ak však postavíme matematiku mimo prirodzeného kontextu, tak sa, samozrejme, javí ako mŕtva.“

Mnohé štúdie (Silver, 1994) ukázali, že ak majú študenti možnosť predložiť matematický problém, zamyslieť sa nad nejakou situáciou a vyvodiť z nej matematickú otázku, čo je vlastne podstata matematiky, tak sa o ňu zaujímajú oveľa intenzívnejšie a dosahujú vyššiu úroveň. Vo veľmi úspešnom filme Beautiful Mind (Čistá duša) sledujú diváci Johna Nasha (Russell Crowe), ktorý sa snaží prísť s nápaditou otázkou, čo je zásadné a počiatočné štádium matematickej práce. Študenti na hodinách tento dôležitý krok vynechávajú a namiesto toho odpovedajú na otázky, ktoré im nič nehovoria – otázky, na ktoré sa nepýtali.

Vo svojej knihe What’s Math Got to Do with It (Čo s tým má spoločné matematika?) sa zaoberám stratégiou, ktorá je postavená na predkladaní matematických problémov na hodinách (Boaler, 2015a). Učiteľ Nick Fiori predkladal študentom rozličné situácie, kde figurovali šišky, hracie karty, farebné koráliky, hracie kocky, matice a skrutky a nabádal študentov ku kladeniu vlastných otázok. Študenti si spočiatku ťažko zvykali na tento prístup, no postupne sa naučili s nadšením využívať vlastné nápady, riešiť matematické problémy a učiť sa nové metódy, keď to bolo potrebné.

Text je úryvkom z knihy Jo Boalerovej Matematické cítenie. Odhaľte potenciál študentov prostredníctvom kreatívnej matematiky, motivačného prístupu a inovatívneho spôsobu učenia, ktorá vyšla vo vydavateľstve Tatrna (2016). Vychádza so súhlaso vydavateľa.

Pozrieť diskusiu

Fungujeme vďaka finančnej podpore našich čitateľov a pravidelných podporovateľov. Ďakujeme.

Podporte nás aj vy, aby sme vám mohli priniesť ďalšie kvalitné články.

Podporiť pravidelnou sumou Podporiť jednorazovo